结合执行功能支架, 元认知提示, 和解决问题的问题，激发所有学生的数学学习
By 里克·布里克博士.D.， 具有里程碑意义的大学 Institute for 研究 and 培训高级主任
众所周知，对于我们许多成年人来说，数学是一件令人焦虑的事情, 专业人士, 学者们也一样. 对于有学习障碍或注意力或执行功能障碍的学生, 数学有时让人觉得近乎不可能.
让数学变得更有趣的一种方法-是的, 乐趣——包括让它变得更难——是的, 困难(好吧, 从某种意义上说，更困难的是雇佣富人, 问题解决问题. 这些类型的数学问题往往抛弃了“技巧和练习”,死记硬背需要记住一个特定的公式并代入正确的数字. 虽然建立这种流畅性和技能是有时间和地点的, “技巧和练习”类型的教学法可能相当, 好吧, 不鼓舞人的.
让学生进入更深层次的思考, 我们可以给他们更有挑战性但更丰富的问题. 这些通常需要打破常规、发散性和创造性思维. They enable students to demonstrate their brilliance and unique perspectives and ways of thinking by allowing multiple paths to finding the solution, 或者问题的单一解决方案.
这里有一个例子:
标准的问题
“找一个5英尺乘7英尺长的花园面积.”
解决方案:长×宽= 5 × 7 = 35英尺2
浓缩版:
“你有35英尺 围成长方形花园的铁丝栅栏. 花园可能的长度和宽度是多少.”
在丰富的版本中，创造性思维被鼓励并且经常被需要. 它有多种解决方案，并鼓励探索. 进一步, 它促进了策略的使用(试错), drawing representations) and understanding of area concepts (how length and width affect total area), 最后, 它鼓励学生解释他们的解决方案.
以这种方式解决问题可以培养对数学更积极的信念, 在数学上有更多的投入和动力, 更好地理解数学概念(如.g., Boaler, 2002; Lester, 2013). Plenty of teachers and curricula use question sets requiring this deeper level of thinking and problem-solving skills; however, too often it is assumed or implied that these questions should only be used once students reach a certain level of mathematical proficiency, 或者更糟, 只适合班上“最优秀的学生”吗, 那些在标准数学评估中得分最高的学生.
所有的学习者都有这种丰富的思维和解决问题的能力, 展示他们独特的视角, 方法, 和思考. But there is that aforementioned difficulty component: These types of problems often require more steps, 更多的计划, 并且更多地监控一个人的表现和策略——这类技能需要很强的能力 执行功能(EF) 组织能力. 它们也往往充斥着比“常规”数学问题更复杂的语言. 简而言之, there is often a higher 认知负荷 (often of the extraneous variety) in complex problem tasks, 这对很多学生来说都很麻烦, 包括神经发散型学习者.
但是等等，我们不是说挑战是件好事吗?
它是! 如果认知负荷和EF需求很高，我们该怎么办? We can follow some tried and true 方法 to reducing extraneous load and providing EF支架, 我们将在下面概述.
以下许多建议和支持证据来自于一项研究 EF +数学资助 测试数学平台的有效性和持续改进的项目， CueThink, 哪个提供脚手架, 解决问题的分步过程, 包括点对点交互和对EF的嵌入式支持.
支持数学执行功能的三种策略
分解问题
CueThink’s approach rests on a four-stage method for supporting effective student problem-solving: explore, 计划, 解决, 和审查, 基于四阶段过程的经典工作(Polya),1945/2014). 它使用, 表面上看, 把问题分解成不同部分或过程的一种比较简单的策略. This is a shared tenet of the “具有里程碑意义的大学 approach” to supporting students with complex assignments and projects of “micro-uniting” the necessary tasks of a project (and yes, 一个复杂的数学问题可以被认为是一个小任务)变成可管理的, 独立的小块. 简而言之，这与我们信息处理极限的现代理论描述相吻合.
一个普通成年人的估计 工作记忆 容量限制(基本上), 对于复杂思维，我们的注意力一次集中在3到4个“项目”之间. 我们可以批判性地思考, 然后用这些信息“做点什么”, 但每次只做几件事. 对于有EF障碍的个体，这种限制往往会加剧. 然而, it is critically important to understand this is NOT the same as overall ability or intelligence!
因此, 这个四阶段的方法可以让你有专门的时间来思考多个问题, 通常有必要, 解决非机械问题的步骤. 它也会鼓励学习者放慢速度, 仔细考虑他们的方法和策略, 如果他们的第一选择是有效的，甚至可以尝试不同的策略.
为执行功能提供支撑
Executive function—the cognitive processes needed for goal-directed behavior—has been shown to be highly related to, 并且可以预测, 数学水平(e).g.,克拉格 & 吉尔摩,2014). 这三种“核心”执行功能对数学能力至关重要. Working memory is needed for holding onto critical pieces of information while processing other information (think carrying numbers in division), 需要抑制控制来忽略问题中的无关信息, 或者阻止自己陷入问题的诱惑, 认知灵活性是所有象征性思维的标志, 包括用代码和数学语言思考, 也需要在数学概念或多步操作之间进行流体切换.
Strengthening core EFs is one approach then for supporting math learning and can be embedded within math learning. 同时, 我们可以考虑解决问题的方法, 或在认知和情感需求高的时候给予必要的支持. Scaffolding implies that these supports will ultimately help the learning of these skills independently, 支撑或支架可以慢慢减少或最终移除. 识别然后降低无关的 认知负荷在这种情况下, 问题的组成部分是固有的, 但对于手头的学习任务或目标来说，这不是不可或缺的，这是一种这样的方法. Helping students break down and understand complex language (or simply reducing or simplifying the wordiness of problems), 突出最关键的特性, and block out distracting or irrelevant wording or information are just some examples of EF scaffolding. 把问题分解成各个组成部分, 如上所述, 也可以被认为是EF支架.
一个相关的方法是使用的原则 通用设计. 这是, 提供与材料接触的多种方式, 表示概念的多种方式, 并且允许使用多种方法来评估学生对材料的理解. 在数学问题解决的背景下, 这可能是使用和鼓励多种工具或小程序来理解, 比如图表, 图表, 数线, 表, 单词, 草图, 或教具, 并允许屏幕阅读器和语音转文本功能.
使用元认知提示
难以开始解决一个问题, 或者知道从哪里开始解决问题, 尤其是多部分, 复杂的问题, 我们在学生身上看到的EF“崩溃”是什么. 借鉴EF教练的原则, one technique for getting “unstuck” is to allow the individual time and space to generate their own 方法 or strategies in a non-directive way, 而不是把老师或教科书喜欢的方法赋予学生. A bit of verbal, or “metacognitive,” prompting can often facilitate this, and can take many forms.
一些例子包括:
- “你的第一步是什么??”
- “当你陷入困境时，什么对你有用??”
- “你现在可以采取的步骤是什么??”
- “你可以尝试两种不同的策略?”
- 什么信息最有可能对解决问题有用?”
- 对答案的合理估计是什么?”
元认知策略的最大好处之一来自于放慢思考速度. 这听起来可能有悖常理, 但是通常是考虑一个问题及其所有组成部分所需要的, 制定计划, 考虑替代方法, 并进行多个步骤和计算.
停止自己的“第一想法”思考, 尤其是那些消极的自言自语, 能不能每一点都像, 甚至更多, 和数学速度一样重要. 与此相关, the metacognitive skill of monitoring one’s work and progress—and knowing when to change gears or tactics—can be essential for persevering through a difficult problem.
支持的证据
这可能不是你第一次听到有人支持这些策略. 事实上, these general classes of instructional techniques and 方法 have been explored previously in the context of math pedagogy. 然而, 几, 如果有任何, empirical studies have attempted a unified effort of combining metacognitive and EF supports in one package to explore changes in math problem-solving proficiency.
Recent work by the CueThink team and colleagues exploring a combined approach is briefly summarized here:
——我们的理论和方法隐含着EF, 后设认知, 以及自己对数学的信念(自我效能), 数学焦虑, 等.)都是成功和熟练解决数学问题的关键因素. 然而，很少有实证研究对这个问题进行研究, 至少在同时观察这些变量时是这样的. 根据我们上面提到的研究, 简而言之, we did find strong evidence from a series of multiple regression (attempts to explain how multiple variables affect a single measured outcome) analyses that EF技能，元认知 预测能力和个体 关于数学的信念 我们很挑剔。”预测“(因素)两者 数学的准确性 (原始分数)和 数学理解 对正确的工作给予表扬, 即使最后的答案是不准确的)在严格的数学问题解决(罗兹, Bryck, 和古铁雷斯·德·布鲁姆, 2023).
——也许我们在这项工作中提出的最基本、最相关的研究问题是 综合方法能有效提高数学水平 (解决问题)得分? 在准实验设计中，我们演示了 温和的 to 在解决数学问题方面有很大的进步 in a group of middle school students using CueThink compared to a group receiving instruction as usual. 这些改进维持了下来 帮助缩小了成绩差距, 在传统上供应不足的(黑色)样品中, LatinX, 和/或社会经济地位较低的学生(罗德, Bryck, 和Sethuraman, 2022). 要了解更多关于这项研究的信息， 请看我们的白皮书.
使用CueThink的学生在数学问题解决方面的成绩似乎有所提高 会受到学生英语能力差异的影响特别是工作记忆容量的个体差异. 学生 who scored higher on an initial WM test showed larger gain in math problem-solving (Bryck & 罗德,2024). 它是 critical to note that EF skills can be dynamic and were tested at only one point in this analysis; moreover, students who initially scored lower on WM still showed statistically significant gains on the tested math 问题解决问题. 然而，这里的关键信息是EF的个体差异, 和/或WM, should be considered and differentiated and/or Universally Designed instruction should be employed to reach the widest range of learners.
那么，我能做什么呢?
好吧, 如果你读到这里, 显而易见的答案是想办法整合元认知提示, EF支架, 以及认知负荷的减少!
一种方法是寻找并雇用。”低地板，高天花板”的问题, which are those that essentially allow multiple entry points to learning but can also foster deep learning (and engagement!)用数学.
Educators should also contemplate methods to assist students in maintaining and applying EF and metacognitive aids outside of a particular setting—i.e.，帮助学生在不同的课堂任务和评估中使用这些策略. 教师应该注意到英语能力的不同层次, 无论是学生内部还是学生之间, 并在需要时及时提供脚手架和协助.
致谢
看到 CueThink网站 for more information on how it works and information on how it can be used by individual students or 学区，可以从他们的网站上获得.
这里报道的研究得到了 EF +数学 高等教育研究及发展基金计划(AERDF)，并通过提供给CueThink的资金. The perspectives expressed are those of the authors and do not necessarily represent views of the EF +数学 Program or AERDF.
非常感谢我们在CueThink的合作伙伴:
- Sheela Sethuraman, CueThink创始人兼首席执行官
- Dr. 山姆·罗兹，佐治亚南方大学基础与特殊教育系助理教授
- Joann Wang, CueThink高级产品专家
参考文献
boal J. (2002). Experiencing school mathematics: Traditional and reform 方法 to teaching and their impact on student learning. 劳特利奇.
Bryck R.L. & 罗兹,年代., (2024). 数学问题解决能力的提高受工作记忆的调节. 数学学习研究委员会(RCML)年度会议记录，哥伦比亚，南卡罗来纳州.
克拉格,L., & 吉尔摩,C. (2014). Skills underlying mathematics: The role of executive function in the development of mathematics proficiency. 神经科学与教育进展，3(2)，63-68. 概述执行功能与数学能力之间的关系
莱斯特,F. K. (2013). 关于数学解题教学研究的思考. 数学爱好者，10(1);245-278. http://doi.org/10.54870/1551-3440.1267
聚(G. (1945/2014). 如何解决:数学方法的一个新方面. 普林斯顿，新泽西州:普林斯顿大学出版社.
罗兹,年代.布里克，R.L.Gutierrez de Blume, A. (2023). 探讨影响数学问题解决的因素. Proceedings of the forty-fifth annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME-NA).
罗兹,年代.布里克，R.L.塞图拉曼，南卡罗来纳州. (2022). CueThinkEF+显著提高学生解决问题的能力 [白皮书].